simplification des fonctions logiques exercices corrigés
Bonjour à nos chers abonnés, après avoir découvert ce qu’est l’algèbre booléenne et son rôle dans la simplification des expressions logiques, ainsi que les lois et règles de simplification des expressions algébriques et logiques(Les lois de l'algèbre de Boole ), nous allons commencer dans cet article la phase d’application à travers des exercices pratiques pour comprendre ces lois et règles et comment les utiliser pour simplifier les expressions et concevoir des circuits électroniques.
Exercice 01
Simplifier les expressions logiques en utilisant les lois de l'algèbre de Boole
Correction d'exercice 01
L’expression première est l’une des lois fondamentales de l’algèbre booléenne
et l’expression est égale à “A”. Nous pouvons l’appliquer directement pour
simplifier les expressions logiques, mais dans cet exercice, nous devons
démontrer la loi.
En ce qui concerne la méthode de simplification des
expressions algébriques, les premières étapes consistent toujours à développer
ou à factoriser, puis à rechercher les expressions logiques considérées comme
des lois fondamentales et à les appliquer directement. Cependant, n’oublions
pas que nous devons atteindre l’expression la plus simple en un minimum
d’étapes, c’est pourquoi nous devons choisir les étapes avec soin.
Pour
notre première expression, nous pouvons commencer par le développement ou la
factorisation, mais nous devons déterminer la méthode qui nous mènera au
résultat le plus rapidement possible. Souvent, la factorisation est la méthode
appropriée pour commencer la simplification.
L’équation se compose de
deux parties reliées par une opération “ET”, donc nous recherchons le facteur
commun. Dans ce cas, il y a un facteur commun, et c’est le facteur “A” en
rouge.
Après la factorisation, nous remarquons que l’expression restante est “B ET non-B”. Comme nous l’avons appris dans les règles fondamentales de l’algèbre booléenne, cette expression est égale à 0.
La simplification finale de la première expression est donc:
L'expression (1) peut être simplifiée d'une autre manière; nous pouvons commencer par distribuer les termes des deux expressions comme suit:
Nous avons donc dans l'expression résultante B. B = 0, et A.A = A, Après substitution, nous avons l'expression suivante :
Nous pouvons maintenant appliquer directement la loi de Boole dans l'expression verte a est égal à "A" et après substitution, nous remarquerons que la même expression est égale à "A"
Pour la deuxième expression, nous constatons que l'expression entre parenthèses contient un facteur commun qui est "B".
Après avoir factorisé par "B", nous obtenons l'expression 1 + C qui équivaut à 1.
Pour la troisième expression, elle est similaire à la deuxième. Nous remarquons dans l'expression entre parenthèses le facteur "C". Nous allons factoriser par ce facteur et obtenir:
Après avoir factorisé par "C", nous obtenons l'expression A + A qui équivaut à 1. Ensuite, nous substituons et obtenons:
Exercice 02
Simplifier à l’expression la plus simple possible l’expression logique suivante en utilisant les lois de l'algèbre de Boole
Correction d'exercice 02
Pour commencer, il faut savoir que la première étape dans la simplification de toute expression algébrique booléenne consiste soit à effectuer une factorisation, soit une distribution. Si l'expression est sous forme canonique, c'est-à-dire la forme de base de toute expression booléenne extraite d'une table de vérité, qui se présente comme une somme de produits, alors nous utilisons l'opération de factorisation au début de la simplification.
Ainsi, la première étape du processus de factorisation consiste à rechercher un ou plusieurs facteurs communs pour les extraire. En ce qui concerne notre expression, nous avons deux facteurs communs, qui sont : H et H
Après avoir identifié les facteurs communs, nous commençons le processus de factorisation comme suit :
Après avoir effectué le processus de factorisation, on obtient de nouvelles expressions plus simples à l'intérieur des parenthèses. À ce stade, nous vérifions si nous pouvons appliquer directement l'une des lois de Boole. Si ce n'est pas possible, nous procédons à une factorisation ou une distribution selon la forme de la nouvelle expression. Dans la première expression à l'intérieur des parenthèses, nous avons une loi de Boole qui peut être appliquée, et il s'agit de :
Pour la deuxième expression, nous avons F + G, sur laquelle nous pouvons appliquer la loi de De Morgan pour transformer l'opération OU en une opération ET tout en unifiant la négation ou le "bar".
Ainsi, après avoir appliqué les deux règles, nous obtenons l'expression suivante :
Dans la dernière partie de l'expression, nous avons FG + FG, qui est égal à 1, car dans les fondamentaux de l'algèbre booléenne, A + Ā est égal à 1. Par conséquent, nous obtenons H.1 = H.
Le résultat final est une loi de Boole qui peut être appliquée directement, et il s'agit de :
Si nous remplaçons l'expression à l'intérieur des parenthèses, par exemple par B, nous remarquerons une loi de Boole de manière claire.
Après avoir remplacé l'expression à l'intérieur des parenthèses par la lettre B pour simplifier l'expression uniquement à l'écrit, nous pouvons maintenant appliquer une loi de Boole de manière plus claire, puis ensuite rétablir l'expression originale pour la lettre B.
algèbre de boole: Exercice 03
Simplifiez l'expression algébrique Y en son expression la plus simple en utilisant les lois de Boole appropriées.
algèbre de boole: Corecction déxercice 03
Lors de la simplification des expressions algébriques booléennes à l'aide des règles et lois de Boole, il existe souvent plusieurs méthodes et choix possibles. La meilleure d'entre elles est celle qui nous conduit à l'expression la plus simple rapidement et en un minimum d'étapes. Dans cet exercice, nous allons le résoudre de deux manières différentes et nous observerons la différence dans le nombre d'étapes, mais en fin de compte, nous obtiendrons le même résultat.
Nous commencerons par effectuer la distribution entre les deux premières parties afin d'éviter toute complexité ou d'omettre une étape de la distribution.
Après l'étape de la distribution : nous obtenons dans l'expression résultante deux expressions relevant d'une loi de Boole, et par conséquent, nous allons les appliquer directement.
Maintenant, nous allons répéter l'opération de distribution entre le résultat obtenu et la troisième partie de l'expression.
Après la dernière opération de distribution, il est possible d'appliquer
les théorèmes fondamentaux de Boole pour éviter la répétition des variables
dans l'expression, comme le théorème d'idempotence A.A = A.
Ensuite, nous
poursuivrons la simplification par factorisation, en recherchant le facteur
commun et en procédant à la factorisation.
En factorisant par le premier facteur, il reste à l'intérieur des
parenthèses une expression égale à 1, et il en va de même pour le second
facteur.
Enfin, après l'application du théorème de l'élément neutre A.1 = A, nous
aurons simplifié l'expression algébrique booléenne à sa forme la plus simple
possible.
Dans la deuxième méthode de simplification de l'expression algébrique booléenne, nous commencerons par la factorisation afin d'atteindre l'expression simplifiée plus rapidement.
Dans l'expression algébrique logique, le facteur commun est b dans deux parties de l'équation. Nous allons procéder à la factorisation et obtenir l'expression suivante.
À la deuxième étape de la simplification, nous allons effectuer la distribution du résultat obtenu avec la troisième partie de l'expression.
Après l'opération de distribution, nous appliquons le théorème d'idempotence A.A = A et le théorème de complémentation A.A̅ = 0 sur les deux dernières expressions pour réduire l'expression algébrique logique.
Ainsi, dans l'expression finale, nous obtenons une expression sous forme d'une loi de Boole qui peut être appliquée directement pour parvenir à la simplification finale.
algèbre de boole: Exercice 04
Simplifiez l'expression booléenne F aussi rapidement que possible en utilisant les lois et théorèmes de l'algèbre booléenne..
algèbre de boole: correction
Dans cet exercice, nous n'allons pas utiliser l'expansion, car c'est une méthode longue et complexe avec une forte probabilité d'erreurs. Au lieu de cela, nous utiliserons la factorisation, et ainsi, nous rechercherons les facteurs communs et les mettrons en évidence avec une couleur spécifique pour rendre l'explication claire.
Dans les deux premiers termes, il y a un facteur commun, qui est (a + b), mis en évidence en noir. Cependant, les deux autres termes n'ont pas de facteurs communs. Ici, nous allons utiliser une astuce ingénieuse : ajouter des termes à l'équation pour créer des facteurs communs sans modifier la valeur de l'équation. Alors, comment pouvons-nous faire cela ?
Nous avons appris dans les théorèmes booléens que : ( A + A = A ) et ( A . A = A ). Cela signifie que si la même expression est répétée dans une équation, elle peut être simplifiée en une seule instance de cette expression. Dans notre cas, nous appliquerons cette règle à l'inverse. Nous avons une seule expression, et nous la répéterons plusieurs fois pour créer des facteurs communs. Par exemple :
(a + b + c) = (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .
Après avoir répété la première expression (a + b + c) , nous avons maintenant plusieurs facteurs communs. Nous les avons mis en évidence dans différentes couleurs après avoir réorganisé les termes pour que les facteurs communs soient côte à côte.
Après avoir effectué l'opération de factorisation, nous obtenons l'expression suivante :
Nous appliquons le théorème ( A.A = 0 ) à l'expression finale obtenue après la factorisation, ce qui donne :
Dans la nouvelle expression, nous suivrons les mêmes étapes : nous dupliquerons l'un des termes pour créer des facteurs communs, puis nous mettrons en évidence ces facteurs communs avec des couleurs spécifiques pour plus de clarté.
À ce stade, nous effectuerons directement l'opération d'expansion pour obtenir l'expression booléenne simplifiée.
algèbre de boole: Exercice 05
En utilisant les théorèmes et les lois de l'algèbre de Boole, vérifier la validité des deux équations X et Y:
algèbre de boole: correction
Pour X = A.B + A.C.D + B.D = A.B + B.D
L'expression booléenne peut être simplifiée de plusieurs manières, nous allons
la simplifier de deux façons différentes pour l'expression X.
La méthode toujours préférée et la plus courte pour réduire une expressionlogique est la factorisation. Dans certains cas, il n'y a pas de facteurs communs à factoriser, donc nous devons ajouter des parties à l'expression de manière correcte sans en changer la valeur, comme multiplier par 1 puis le remplacer par toute expression équivalant à 1, ou ajouter 0 puis le remplacer par toute expression valant 0.
X = AB + (ACD).1 + BD avec 1=B+B
X = AB + (ACD).(B+B) + BD
Après avoir ajouté B+B qui équivaut à 1, nous procédons à la distribution sur l'expression ACD.
X = AB + ACDB+ ACDB + BD
Après l'opération de distribution, réorganisez l'expression de manière à regrouper les facteurs communs les uns à côté des autres et identifiez-les avec des couleurs pour plus de clarté.
X = AB + ABCD+ ACBD+ BD
Après l'opération de factorisation, les expressions à l'intérieur des parenthèses restent égales à 1, et ainsi nous parvenons à l'expression finale.
X = AB (1+CD)+ (AC+1) BD
X = AB + BD
Passons à la deuxième méthode de simplification. Dans ce cas, nous appliquerons la loi de Boole à l'envers pour ajouter une expression qui nous fournira un facteur commun:
X = AB+ BD+AD + ACD
(Nous avons ajouté AD car :AB+ BD+AD = AB+ BD
Après avoir ajouté AD, nous recherchons les facteurs communs et procédons à la factorisation.
X = AB+ BD+AD + ADC
X = AB+ BD+AD (1+C)
X = AB+ BD+AD
X = AB+ BD
Passons à la deuxième expression et, de la même manière, nous essaierons d'ajouter une nouvelle expression sans modifier la valeur de l'équation pour produire des facteurs communs facilitant la factorisation.
Y =(A+B)(A+C)(B+C)
Y =(A+B)(A+C)(B+C)+0
Y =(A+B)(A+C)(B+C)+(A.A)
Après avoir ajouté l'expression (A.A) qui équivaut à 0, nous procédons à l'opération de distribution, puis nous identifions les facteurs communs et effectuons la factorisation.
Y =(A+B)(A+C)(B+C+A)(B+C+A)
Y =(A+B)(B+A+C)(A+C)(B+C+A)
Y =(A+B)(1+C)(A+C)(B+1)
Y =(A+B)(A+C)
algèbre de boole: Exercice 06
En utilisant les théorèmes et les lois de l'algèbre de Boole, donnez le complément des équations E,F,G, et H:
Dans la première expression E, nous allons calculer le complément de l'équation en plaçant une barre sur l'ensemble de la formule, puis appliquer la loi de De Morgan A+B=A.B pour décomposer et distribuer la barre sur les termes de l'expression logique.
Après avoir appliqué la loi de De Morgan, nous appliquons la loi de De Morgan inverse A.B=A+B sur la dernière expression, puis nous utilisons le théorème d'involution pour supprimer la double négation sur les variables, ce qui donne :
Maintenant, dans la nouvelle expression, nous effectuons l'opération de distribution et obtenons le résultat suivant :
Le complément de l'expression peut être calculé et simplifié par d'autres méthodes. Voici une deuxième méthode dans cette image:
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