Règles fondamentales pour extraire l'expression logique d'une table de Karnaugh
Tout comme nous avons extrait l'expression logique à partir de la table
de vérité en identifiant les lignes contenant des "1", nous nous
concentrons ici sur les cases du tableau de Karnaugh contenant des "1". La
méthode consiste à regrouper ces cellules adjacentes en respectant des
conditions précises.
Les Règles d'Or du Regroupement :
- Contenu des groupes : Regroupez exclusivement les cases contenant le chiffre 1.
- Forme géométrique : Les groupes doivent impérativement être de forme rectangulaire ou carrée (les formes en L ou irrégulières sont strictement interdites).
- Taille des groupes : La taille d'un groupe doit toujours être une puissance de 2 (soit 1, 2, 4, 8 ou 16 cellules).
- Optimisation : Chaque groupe doit être le plus grand possible pour obtenir la simplification maximale.
- Chevauchement : Une même case contenant un "1" peut appartenir à plusieurs groupes différents (le recouvrement est autorisé et souvent recommandé).
- Couverture totale : Tous les "1" présents dans le tableau doivent être couverts par au moins un groupe.
EXEMPLE 01:
Nous observons dans la table de Karnaugh du premier exemple que le premier groupe contient 4 cellules avec des 1. Comme nous l'avons mentionné dans les règles, nous devons toujours nous efforcer de former des groupes contenant le plus grand nombre possible de 1, et on ne peut pas diviser ce groupe en deux groupes plus petits.
Ensuite, nous avons le deuxième groupe en vert qui contient deux cellules
éloignées du premier groupe et non adjacentes à d'autres cellules
contenant des 1. Par conséquent, nous les avons formées en un groupe
séparé.
Exemples avec des erreurs courants :
Maintenant, je vais présenter quelques erreurs courantes à éviter afin
de ne pas obtenir une expression non simplifiée ou un résultat
incorrect.
Dans le premier tableau, nous avons un groupe composé de 6 cases, ce
qui est incorrect. Comme nous l'avons précisé, la taille des groupes
doit impérativement être une puissance de 2 (soit 1, 2, 4, 8 ou 16
cases).
Dans le deuxième tableau, nous avons deux groupes, mais le groupe
orange peut être plus grand. Rappelez-vous qu'une case contenant un
"1" peut appartenir à plusieurs groupes à la fois. Par conséquent, le
regroupement correct est le suivant :
Le principe de l'adjacence circulaire (ou l'effet de
repliement) :
Il reste à mentionner un point fondamental : nous considérons que la
première et la dernière colonne sont adjacentes. Par conséquent, les
cellules situées dans la première colonne peuvent être regroupées avec
celles de la dernière colonne au sein d'un même groupe. De la même
manière, la première et la dernière ligne possèdent également des
cellules adjacentes entre elles.
Adjacence latérale : La colonne de gauche et la colonne de droite sont
adjacentes.
Adjacence verticale : La ligne du haut et la ligne du bas sont
adjacentes.
Adjacence des coins : Les quatre coins du tableau sont adjacents entre
eux (dans un tableau 4×4).
Voici quelques exemples pour illustrer ce concept :
Dans cet exemple, nous avons un groupe de cases contenant la valeur 1 dans
la première colonne et d'autres dans la dernière colonne. Dans ce cas
précis, nous considérons qu'il s'agit d'un seul et unique groupe composé
de 8 cases : les 4 cases de la première colonne et les 4 cases de la
dernière colonne.
Dans le deuxième exemple, nous avons un groupe de cases dans la première
ligne et un autre dans la dernière ligne. Nous pouvons donc les rassembler
en un seul groupe unique (celui représenté en vert). Nous examinerons
d'autres exemples lors de la mise en pratique, où nous expliquerons
comment extraire les équations logiques pour chaque groupe.
Une fois que nous avons appris à remplir le tableau de Karnaugh et à
identifier les groupes, il reste l'étape cruciale : l'extraction de
l'expression finale simplifiée.Tout d'abord, examinons quelques notions
fondamentales concernant les variables : dans le tableau de Karnaugh,
chaque variable prend deux valeurs possibles, soit 0 soit 1. Dans
l'expression logique finale :Si la valeur de la variable est 1 : on écrit
le nom de la variable tel quel (exemple : A).Si la valeur de la variable
est 0 : on ajoute une barre sur le nom de la variable pour indiquer son
complément (exemple : \( \overline{A}\).
Pour plus de clarté, nous écrivons à côté de chaque valeur de variable
dans le tableau de Karnaugh le nom de la variable correspondante (par
exemple A , \(\overline{A}\), AB , etc.). Cela facilite grandement
l'extraction de l'expression simplifiée.Une fois que vous serez habitué à
la structure du tableau, il ne sera plus nécessaire de les écrire à chaque
fois.
Passons maintenant à l'application pratique. Nous allons commencer par
le premier cas : lorsqu'un groupe est composé d'une seule cellule (un
groupe de 1).
Dans ce cas, aucune simplification n'est possible car toutes les
variables restent constantes pour cette case unique. Nous devons donc
écrire toutes les variables dans l'expression du groupe.
La règle est simple : lorsqu'un groupe ne contient qu'une seule cellule
(un "1" isolé), nous prenons toutes les variables de la colonne et de la
ligne correspondantes. Dans ce cas, l'équation contient les quatre
variables reliées par l'opérateur logique ET (AND).
Retenez bien ce principe : plus la taille du groupe augmente, plus le
nombre de variables dans l'équation diminue (simplification).
Dans l'exemple suivant, nous avons plusieurs groupes isolés contenant des
"1". Les cellules étant éloignées et non adjacentes, elles ne peuvent pas
être rassemblées dans un seul groupe. Dans ce cas, l'expression simplifiée
globale est formée par la somme logique des expressions de chaque groupe,
reliées par l'opérateur OU (OR).
En réalité, dans les exemples où les groupes ne sont composés que d'une
seule cellule, aucune simplification n'est possible. L'expression
obtenue est strictement la même que celle extraite directement de la
table de vérité.
Dans ce cas précis, le tableau de Karnaugh n'apporte aucun avantage
réel. La véritable simplification ne commence que lorsque nous parvenons
à former des groupes contenant plus d'une cellule (2, 4, 8 ou 16).
Dans le second cas, nous allons examiner des groupes composés de deux
cellules. C'est ici que nous allons découvrir la règle fondamentale de
simplification du tableau de Karnaugh.La règle d'or :Lorsqu'on forme un
groupe de deux cellules, on compare les valeurs des variables pour ces
deux cases.On supprime la variable qui change d'état (celle qui passe
de 0 à 1 $ ou inversement).
On garde uniquement les variables qui conservent la même valeur pour les
deux cellules.
Résultat :Dans un tableau à 4 variables, un groupe de 2 cellules permet
d'éliminer 1 variable. L'expression finale de ce groupe ne contiendra donc
plus que 3 variables.
Dans cet exemple, nous avons un groupe composé de deux cellules adjacentes
horizontalement. Ce groupe s'étend donc sur deux colonnes du tableau de
Karnaugh.Dans ce cas, nous comparons les valeurs de ces deux colonnes :
nous éliminons la variable qui change d'état et nous conservons celle qui
reste constante.Analyse des colonnes : Dans notre exemple, la première
colonne correspond à \( AB = 11 \) (soit \( A \cdot B \)) et la deuxième à
\( AB = 10 \) (soit \( A \cdot \overline{B} \)). Nous remarquons que la
variable \( B \) change d'état (elle passe de 1 à 0), elle est donc
éliminée. Nous ne gardons que la variable \( A \).Analyse des lignes :
Comme le groupe se situe sur une seule ligne, les variables de cette ligne
restent inchangées. Nous les conservons donc telles quelles dans
l'expression finale.
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons deux groupes similaires. Chaque
groupe est composé de deux cellules adjacentes verticalement. Cela
signifie que chaque groupe occupe une seule colonne mais s'étend sur
deux lignes du tableau de Karnaugh.
Pour extraire l'expression :
Analyse des colonnes : Comme le groupe se trouve dans une seule colonne,
nous prenons les variables de cette colonne telles quelles.
Analyse des lignes : Nous comparons les deux lignes occupées par le
groupe et nous ne gardons que la variable commune qui ne change pas
d'état.
Résultat final : Comme nous l'avons expliqué précédemment, nous relions
les expressions de ces deux groupes par l'opérateur logique OU (OR) pour
obtenir l'expression simplifiée finale.
Passons maintenant aux exemples avec des groupes de quatre cellules.
Dans ce cas, l'expression finale sera simplifiée au maximum et ne
contiendra plus que deux variables.
La règle de réduction :
Comme nous l'avons appris, plus le groupe est grand, plus on élimine de
variables. Pour un tableau de Karnaugh à 4 variables :
Un groupe de 4 cellules permet d'éliminer 2 variables (celles qui
changent d'état).
Il ne reste dans l'équation que les 2 variables qui demeurent constantes
sur l'ensemble des quatre cases.
Dans le tableau de Karnaugh ci-dessus, nous avons deux groupes de quatre
cellules adjacentes contenant des "1". Dans ce cas, l'expression sera
composée d'une variable issue des colonnes et d'une variable issue des
lignes.
Le groupe s'étendant sur deux colonnes et deux lignes, nous procédons
comme suit :
Analyse des colonnes : Nous comparons les deux colonnes couvertes par le
groupe et nous ne gardons que la variable qui conserve sa valeur (qui ne
change pas d'état).
Analyse des lignes : Nous appliquons la même méthode pour les deux
lignes concernées en conservant uniquement la variable stable.
1. Le Groupe Rouge :Ce groupe couvre les colonnes 11 (\( AB \)) et 10 (\( A\overline{B} \)), ainsi que les lignes 01 (\( \overline{C}D \)) et 11 (\( CD \)).Analyse des colonnes (\( AB \)) : La variable \( A \) reste constante à 1, tandis que \( B \) change d'état (de 1 à 0). On garde donc \( A \).
Analyse des lignes (\( CD \)) : La variable \( D \) reste constante à 1, tandis que \( C\) change d'état (de 0 à 1). On garde donc \( D \).Expression du groupe : \( AD \)
2. Le Groupe Vert:Ce groupe couvre les colonnes 00 (\( \overline{A}\overline{B} \)) et 01 (\( \overline{A}B \)), ainsi que les lignes 11 (\( CD \)) et 10 (\( C\overline{D} \)).
Analyse des colonnes (\( AB \)) : La variable \( A \) reste constante à 0 (\( \overline{A} \)), tandis que \( B \) change d'état. On garde donc \( \overline{A} \).
Analyse des lignes (\( CD \)) : La variable \( C \) reste constante à 1, tandis que \( D \) change d'état. On garde donc \( C \).Expression du groupe : \( \overline{A}C \)
Cas particulier : Groupe occupant une ligne ou une colonne entière
Si un groupe s'étend sur une ligne complète ou une colonne complète, nous ne conservons que les variables correspondant à cette ligne ou à cette colonne. En effet, toutes les autres variables changent d'état et sont donc éliminées.
Dans ce dernier exemple, nous illustrons le concept de chevauchement des groupes. Comme nous l'avons mentionné dans les règles de base, une cellule contenant un "1" peut parfaitement appartenir à plusieurs groupes différents.
Pourquoi utiliser cette méthode ?
Le fait de réutiliser un "1" déjà couvert permet de former des groupes plus grands (par exemple, transformer un groupe de 2 en un groupe de 4). Plus le groupe est grand, plus l'expression finale sera courte et simplifiée.
Pour les groupes plus larges de 8 cellules, l'extraction devient extrêmement simple. Un tel groupe couvre généralement soit toutes les lignes et deux colonnes, soit toutes les colonnes et deux lignes.
En fin de compte, il ne reste qu'une seule variable pour décrire l'ensemble du groupe. Voici un exemple illustrant un tableau de Karnaugh avec deux groupes de 8 :
1. Les colonnes ou lignes extrêmes (Les bords) :Il faut imaginer que le tableau de Karnaugh est en fait un cylindre. La première colonne est adjacente à la dernière.
Exemple : Si nous avons des "1" dans la première colonne (00) et la dernière ( 10), nous formons un groupe. La variable A change d'état (de 0 à 1) et s'annule, tandis que la variable B reste à 0. On garde donc \( \overline{B} \).
2. Les quatre coins :C'est le cas le plus impressionnant. On peut regrouper les quatre "1" situés aux coins du tableau.
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