Tableau de Karnaugh à 4 variables: extraire l'expression simplifiée

 Règles fondamentales pour extraire l'expression logique d'une table de Karnaugh

Tout comme nous avons extrait l'expression logique à partir de la table de vérité en identifiant les lignes contenant des "1", nous nous concentrons ici sur les cases du tableau de Karnaugh contenant des "1". La méthode consiste à regrouper ces cellules adjacentes en respectant des conditions précises.
Les Règles d'Or du Regroupement :

1. Contenu des groupes : Regroupez exclusivement les cases contenant le chiffre 1.
2. Forme géométrique : Les groupes doivent impérativement être de forme rectangulaire ou carrée (les formes en L ou irrégulières sont strictement interdites).
3. Taille des groupes : La taille d'un groupe doit toujours être une puissance de 2 (soit 1, 2, 4, 8 ou 16 cellules).
4. Optimisation : Chaque groupe doit être le plus grand possible pour obtenir la simplification maximale.
5. Chevauchement : Une même case contenant un "1" peut appartenir à plusieurs groupes différents (le recouvrement est autorisé et souvent recommandé).
6. Couverture totale : Tous les "1" présents dans le tableau doivent être couverts par au moins un groupe.

EXEMPLE 01:

 Nous observons dans la table de Karnaugh du premier exemple que le premier groupe  contient 4 cellules avec des 1. Comme nous l'avons mentionné dans les règles, nous devons toujours nous efforcer de former des groupes contenant le plus grand nombre possible de 1, et on ne peut pas diviser ce groupe en deux groupes plus petits.

Ensuite, nous avons le deuxième groupe en vert qui contient deux cellules éloignées du premier groupe et non adjacentes à d'autres cellules contenant des 1. Par conséquent, nous les avons formées en un groupe séparé.

Exemples avec des erreurs courants :

Maintenant, je vais présenter quelques erreurs courantes à éviter afin de ne pas obtenir une expression non simplifiée ou un résultat incorrect.

Dans le premier tableau, nous avons un groupe composé de 6 cases, ce qui est incorrect. Comme nous l'avons précisé, la taille des groupes doit impérativement être une puissance de 2 (soit 1, 2, 4, 8 ou 16 cases).

Dans le deuxième tableau, nous avons deux groupes, mais le groupe orange peut être plus grand. Rappelez-vous qu'une case contenant un "1" peut appartenir à plusieurs groupes à la fois. Par conséquent, le regroupement correct est le suivant :

Le principe de l'adjacence circulaire (ou l'effet de repliement) :

Il reste à mentionner un point fondamental : nous considérons que la première et la dernière colonne sont adjacentes. Par conséquent, les cellules situées dans la première colonne peuvent être regroupées avec celles de la dernière colonne au sein d'un même groupe. De la même manière, la première et la dernière ligne possèdent également des cellules adjacentes entre elles.

Adjacence latérale : La colonne de gauche et la colonne de droite sont adjacentes.

Adjacence verticale : La ligne du haut et la ligne du bas sont adjacentes.

Adjacence des coins : Les quatre coins du tableau sont adjacents entre eux (dans un tableau 4×4).

Voici quelques exemples pour illustrer ce concept :

Dans cet exemple, nous avons un groupe de cases contenant la valeur 1 dans la première colonne et d'autres dans la dernière colonne. Dans ce cas précis, nous considérons qu'il s'agit d'un seul et unique groupe composé de 8 cases : les 4 cases de la première colonne et les 4 cases de la dernière colonne.

Dans le deuxième exemple, nous avons un groupe de cases dans la première ligne et un autre dans la dernière ligne. Nous pouvons donc les rassembler en un seul groupe unique (celui représenté en vert). Nous examinerons d'autres exemples lors de la mise en pratique, où nous expliquerons comment extraire les équations logiques pour chaque groupe.

Une fois que nous avons appris à remplir le tableau de Karnaugh et à identifier les groupes, il reste l'étape cruciale : l'extraction de l'expression finale simplifiée.Tout d'abord, examinons quelques notions fondamentales concernant les variables : dans le tableau de Karnaugh, chaque variable prend deux valeurs possibles, soit 0 soit 1. Dans l'expression logique finale :Si la valeur de la variable est 1 : on écrit le nom de la variable tel quel (exemple : A).Si la valeur de la variable est 0 : on ajoute une barre sur le nom de la variable pour indiquer son complément (exemple : \( \overline{A}\).

Pour plus de clarté, nous écrivons à côté de chaque valeur de variable dans le tableau de Karnaugh le nom de la variable correspondante (par exemple A , \(\overline{A}\), AB , etc.). Cela facilite grandement l'extraction de l'expression simplifiée.Une fois que vous serez habitué à la structure du tableau, il ne sera plus nécessaire de les écrire à chaque fois.

Passons maintenant à l'application pratique. Nous allons commencer par le premier cas : lorsqu'un groupe est composé d'une seule cellule (un groupe de 1).

Dans ce cas, aucune simplification n'est possible car toutes les variables restent constantes pour cette case unique. Nous devons donc écrire toutes les variables dans l'expression du groupe.

CC