Exprimer une fonction logique à partir d'une table de Karnaugh
Après avoir appris à identifier les groupes de cellules adjacentes contenant des 1, il nous reste à connaître la méthode pour extraire l'expression logique algébrique de la table de Karnaugh.
la table de Karnaugh avec 2 variables
Au début, nous extrayons l'équation logique pour chaque groupe de la manière suivante : Tout d'abord, nous comparons les colonnes et les lignes qui constituent le groupe, et nous recherchons la variable qui a maintenu sa valeur logique entre les colonnes communes dans le groupe. Nous faisons de même pour les lignes du groupe. Ensuite, nous prenons les variables dont la valeur logique n'a pas changé et nous les écrivons en plaçant entre elles l'opérateur AND logique.
Après avoir déterminé les équations pour chaque groupe, nous les combinons à l'aide de l'opérateur OR logique pour obtenir l'équation logique complète.
Pour commencer, nous allons prendre une table de Karnaugh à deux variables et donner plusieurs exemples pour illustration.
ٍDans le premier cas, nous allons examiner les groupes qui se composent d'une seule cellule contenant un 1.
Dans cet exemple, nous avons un groupe unique composé d'une seule cellule. Dans ce cas, nous prenons toutes les variables de la colonne et de la ligne qui forment la cellule. En suivant la même méthode que celle utilisée pour extraire l'équation d'une table de vérité, nous prenons le nom de la variable si sa valeur est 1, et nous prenons l'inverse de la variable (la variable avec une barre) si sa valeur est égale à 0. Ainsi, dans notre exemple, la cellule se trouve dans la colonne où A = 0 et la ligne où B = 0. Par conséquent, l'équation du groupe est : F = A · B
Dans ce tableau, nous avons un groupe composé d'une seule cellule qui se trouve à l'intersection de la colonne contenant la variable A=1 et de la ligne contenant la variable B=1. Par conséquent, l'équation logique de ce groupe est :
F = A · B
Dans ce tableau, nous avons deux groupes qui sont les mêmes que dans les exemples précédents. Dans ce cas, lorsque nous avons plusieurs groupes dans une table de Karnaugh, après avoir extrait l'équation logique de chaque groupe, nous écrivons l'équation complète en écrivant les équations des groupes séparées par l'opérateur OR logique.
Maintenant, passons à d'autres exemples où les groupes contiennent plus d'une cellule dans la table de Karnaugh.
Exemple 1 : Groupe de 2 cellules adjacentes horizontalement
Dans cet exemple, nous avons deux tableaux qui contiennent chacun un seul groupe composé de deux cellules horizontales. Dans ce cas, le groupe prend la ligne entière, et donc nous prenons la variable de la ligne.
Dans le premier tableau, le groupe se trouve dans la ligne où B=0, ce qui signifie que l'équation du groupe est :
F = B̄
(ou F = B' en notation alternative)
Ensuite, dans le deuxième tableau, le groupe se trouve dans la ligne où B=1, donc l'équation du groupe est :
F = B
Exemple 2 : Groupe de 2 cellules adjacentes verticalement
Si le groupe couvre toutes les cellules d'une colonne, alors nous prenons la variable de la colonne dans l'équation.
Dans le premier tableau, le groupe se trouve dans la colonne où A=0, ce qui signifie que l'équation devient : F = Ā (ou F = A' en notation alternative)
Puis, dans le deuxième tableau de Karnaugh, le groupe se trouve dans la colonne où A=1, et donc l'équation du groupe est : F = A
Exemple 3 : Groupe de 2 cellules adjacentes verticalement et horizontalement
Dans le troisième exemple, nous avons deux tableaux contenant chacun deux groupes avec une cellule commune. Nous écrivons l'équation logique complète en écrivant les équations des groupes séparées par l'opérateur OR logique, comme mentionné précédemment.
Dans le dernier cas, si toutes les cellules de la table de Karnaugh contiennent des 1, alors l'équation logique est égale à 1.
Exprimer une fonction logique à partir d'une table de Karnaughla avec 3 variables
la table de Karnaugh avec 3 variables
Commençons donc par le premier cas : lorsque nous avons un groupe composé d'une seule cellule contenant un 1.
Dans ce cas, comme nous l'avons dit dans l'article précédent, nous prenons la valeur des variables dans la colonne et la ligne qui forment la cellule.
- Si la variable a la valeur 1, nous écrivons dans l'équation le nom de la variable.
- Si elle est égale à 0, nous écrivons le complément (l'inverse) de la variable, c'est-à-dire le nom de la variable avec une barre au-dessus.
Exemple 1 :
Dans le premier exemple, nous avons un tableau de Karnaugh qui contient un seul groupe constitué d'une cellule isolée.
Il faut d'abord savoir que dans ce cas, l'équation contiendra toutes les variables du tableau, c'est-à-dire les trois variables.
Cette cellule se trouve à l'intersection de la colonne AB = 00 et de la ligne C = 0.
Dans ce cas, toutes les variables sont égales à 0 , donc on écrit chaque variable avec une barre (complément).
L'équation est donc :F = A · B · C
Exemple 2 :
Dans le deuxième exemple, nous avons 3 groupes séparés, chacun composé d'une seule cellule.
Donc, de la même manière, on extrait l'équation de chaque groupe individuellement, puis on écrit l'équation complète en combinant les équations des groupes par l'opération logique OU (notée par le signe +).
Rappel : si une variable est égale à 1, on écrit son nom dans l'équation ; si elle est égale à 0, on écrit le nom de la variable avec une barre au-dessus.
Passons maintenant au deuxième cas : celui où le groupe comprend toute une colonne ou toute une ligne du tableau.
Dans ce cas, comme nous l'avons expliqué dans l'article précédent, on ne prend que la valeur de la colonne (si le groupe occupe toute une colonne) ou que la valeur de la ligne (si le groupe occupe toute une ligne).
Prenons des exemples pour illustrer cela.
Comme nous le voyons dans le premier tableau ci-dessus, nous avons un groupe constitué de toutes les cellules de la ligne où la variable C = 0.
Par conséquent, très simplement, l'équation sera :
F = C
Et dans le deuxième tableau ci-dessous, nous avons dans le tableau de Karnaugh un groupe qui comprend toutes les cellules de la ligne où C = 1.
Par conséquent, l'équation de ce groupe est : F = C
Dans l'image, nous avons 4 tableaux de Karnaugh, chaque tableau présente un cas possible d'un groupe qui comprend une colonne entière.
Dans ce cas, nous prenons les variables de la colonne :
Si la variable dans la colonne est égale à 1, nous écrivons le nom de la variable
Si elle est égale à 0, nous écrivons le complément (la variable avec une barre)
Tableau 1 : Colonne AB = 00 F = A · B
Tableau 2 : Colonne AB = 01 F = A · B
Tableau 3 : Colonne AB = 11 F = A · B
Tableau 4 : Colonne AB = 10 F = A · B
Prenons maintenant un autre exemple, où le tableau de Karnaugh contient plusieurs groupes séparés. Dans ce cas, comme nous l'avons mentionné précédemment, nous additionnons les équations de chaque groupe par l'opération logique OU pour obtenir l'expression finale.
Passons maintenant au cas suivant : celui où nous avons un groupe constitué de deux cellules horizontales.
Dans le premier tableau de Karnaugh, nous avons un groupe constitué de deux cellules horizontales en couleur orange.
Ce groupe se trouve dans la ligne où C = 0, donc nous écrivons dans l'équation : C
Ensuite, ce groupe couvre deux colonnes du tableau. Comme nous l'avons dit, la règle nous dit de chercher la variable commune entre les deux colonnes, c'est-à-dire celle qui n'a pas changé de valeur.
Dans notre cas, nous observons que la variable A garde la valeur 0 dans les deux colonnes. Donc nous écrivons dans l'équation : A Par conséquent, l'expression booléenne de ce groupe est : F = C · A
Dans le deuxième tableau, j'ai le groupe de couleur verte qui couvre deux colonnes du tableau de Karnaugh. Ces deux colonnes ont la variable A avec la même valeur, qui est 1. Donc nous écrivons dans l'expression : A Le groupe se trouve dans la ligne où C = 1, donc nous écrivons dans l'expression : C Nous obtenons ainsi l'expression finale pour ce groupe : F = A · C
Quant au troisième tableau, c'est un exemple pour le cas où le tableau de Karnaugh contient plusieurs groupes.
Nous allons maintenant passer aux groupes plus grands, plus précisément aux groupes qui contiennent 4 cellules.
Et n'oublions pas que plus le groupe est grand, plus le nombre de variables dans l'équation est petit.
Commençons avec le premier exemple:
Dans le premier tableau, nous avons un groupe constitué de quatre cellules contenant 1. Nous observons que ce groupe couvre toutes les lignes du tableau (C = 0 et C = 1), donc nous ne prenons pas les variables des lignes (C est éliminé).
Ensuite, ce groupe couvre deux colonnes. Comme nous l'avons dit précédemment, nous prenons la variable dont la valeur n'a pas changé entre les deux colonnes. Dans notre exemple, la variable A a la valeur 0 dans les deux colonnes. Donc l'expression booléenne est : F = A
Dans le deuxième tableau, le groupe couvre également deux colonnes. Ici, c'est la variable B qui garde la même valeur, qui est 1. Donc nous écrivons l'équation : F = B
Dans cet exemple, nous rappelons que la première et la dernière colonne sont toujours considérées comme adjacentes. Par conséquent, on peut regrouper leurs cellules dans un seul groupe.
Il reste le cas le plus important : celui où nous avons des groupes qui se chevauchent (overlapping groups).
C'est-à-dire que les cellules qui contiennent 1 peuvent appartenir à plusieurs groupes dans le même tableau.
📌 Règle importante :
Dans le tableau de Karnaugh, une même cellule peut être utilisée dans plusieurs groupes.
Cela permet d'obtenir des groupes plus grands et donc des équations plus simples.
Comme nous le voyons dans le premier exemple, nous avons un tableau de Karnaugh qui contient 3 cellules avec 1 adjacentes.
Comme nous le savons, on ne peut pas prendre un groupe de 3 cellules (les groupes doivent être de taille 1, 2, 4, 8, etc., c'est-à-dire des puissances de 2).
Nous allons donc former deux groupes.
Mais il ne faut pas oublier que nous pouvons utiliser une cellule dans plus d'un groupe, comme c'est montré dans les deux tableaux.
Prenons maintenant un autre exemple plus complexe et extrayons les groupes étape par étape.
Si nous regardons le tableau de Karnaugh ci-dessous, nous remarquons que nous avons une seule cellule qui contient 0 (et bien sûr, plusieurs cellules avec 1).
Ce que nous allons faire, c'est identifier un groupe à la fois et extraire son expression, afin de faciliter la reconnaissance de tous les groupes possibles dans le tableau.
Nous avons le premier groupe en vert, et son expression est :
F1 = C
Le deuxième groupe en orange contient 4 cellules, et son expression est : F₂ = A
Ensuite, nous avons le troisième groupe en bleu qui contient 4 cellules, et son expression est : F₃ = B
Maintenant, pour obtenir l'expression finale, on combine les trois groupes avec l'opération OU :
Avec cette méthode, nous pouvons identifier tous les groupes possibles en choisant le plus grand nombre de cellules pour chaque groupe, afin d'obtenir l'expression booléenne la plus simplifiée.
Résumé de la démarche :
Identifier les groupes les plus grands possibles (puissances de 2 : 1, 2, 4, 8 cellules)
Utiliser les cellules plusieurs fois si cela permet d'agrandir les groupes
Écrire l'équation de chaque groupe en gardant uniquement les variables constantes
Combiner toutes les équations avec l'opération OU ( + )
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