Qu'est-ce qu'une table de vérité en l'éléctronique numérique ?
Les circuits électroniques numériques ont des fonctions logiques spécifiques. Avant la phase de fabrication, ces circuits se présentent sous la forme d'une idée écrite sous forme de textes contenant des conditions et le mode de fonctionnement du circuit électronique. Le rôle de l'ingénieur en électronique est de transformer cette idée en réalité à travers les circuits électroniques logiques que nous avons étudiés précédemment, à savoir les portes logiques. La conception des circuits électroniques passe par plusieurs étapes : la première consiste à déterminer le nombre d'entrées et de sorties du circuit électronique, puis à traduire l'idée écrite en un tableau répertoriant les entrées, les sorties et toutes les combinaisons logiques possibles que peuvent prendre les entrées, avant de définir les valeurs des sorties en fonction des conditions et de la fonction spécifiée pour le circuit. Ce tableau est appelé table de vérité.table de vérité
En électronique numérique, la table de vérité est un tableau qui exprime la fonction logique d’un circuit électronique numérique. Le tableau de vérité contient des entrées et des sorties, généralement désignées par des lettres ou des lettres accompagnées de chiffres. Ces entrées et sorties prennent des valeurs booléennes, soit 0, soit 1.
taille de la table de vérité
La taille du tableau de vérité dépend entièrement du nombre d'entrées dans la fonction algébrique logique. Plus le nombre d'entrées, ou ce que l'on peut appeler les variables, augmente, plus la taille du tableau croît. Comme nous le savons, les entrées prennent des valeurs booléennes, soit 0, soit 1, et dans le tableau de vérité, il faut inclure toutes les combinaisons possibles que peuvent prendre les entrées. Ainsi, la taille des entrées peut être déterminée par la relation suivante : 2n, où 2 représente les deux valeurs binaires 0 et 1, et n est le nombre d'entrées dans la fonction logique.
la table de vérité avec 2 entrées
Nous avons déjà étudié les portes logiques, découvert leurs fonctions et appris à connaître la table de vérité de chaque porte logique. Par conséquent, nous nous sommes familiarisés avec la table de vérité qui comporte deux entrées.
Pour une fonction logique comportant deux entrées, comme les portes logiques, il est nécessaire d'avoir une table de vérité contenant 22 lignes, soit quatre lignes. Cela signifie que nous aurons 4 possibilités, qui sont : 00, 01, 10 et 11.
table de vérité de la porte logique XNOR
| A | B | A XNOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
une table de vérité avec 3 entrées
Si nous avons une fonction logique comportant 3 variables ou entrées, nous aurons besoin d'une table de vérité contenant 23 lignes, ce qui représente 8 états possibles que les entrées peuvent prendre.
Comment remplir correctement toutes les combinaisons des entrées ?
Il est facile de remplir les cases des entrées si nous connaissons les nombres en système binaire. Par exemple, si nous avons une table de vérité avec 3 variables, nous aurons 8 lignes, et donc nous les remplissons avec les nombres binaires de 0 à 7.
une table de vérité avec 4 entrées
Pour une table de vérité avec 4 variables ou entrées, nous aurons besoin de 2 puissance 4 lignes, c'est-à-dire qu'il y aura 16 possibilités composées de 4 bits.
Comment remplir toutes les combinaisons des entrées de la table de vérité de 16 lignes ?
Pour remplir une table de vérité, on peut utiliser la méthode mentionnée précédemment, mais il faut connaître les nombres de 0 à 15 en système binaire. En réalité, il existe une méthode plus simple et plus facile, applicable à des tables de vérité plus grandes, et elle est la suivante :
Si nous supposons que nous avons 4 entrées dans le tableau A, B, C, D, pour l'entrée A, nous remplissons la première case avec 0, puis la deuxième case avec 1, et nous répétons ce processus jusqu'à la fin du tableau, comme illustré dans l'image:
Pour l'entrée B, nous plaçons 0 dans les première et deuxième cases, puis 1 dans les troisième et quatrième cases, et nous répétons ce processus jusqu'à la fin du tableau.
Ensuite, nous continuons avec la même méthode : à chaque passage à la colonne suivante, nous doublons le nombre de bits de la colonne précédente. Ainsi, pour l'entrée C, nous plaçons quatre zéros dans les premières cases, puis quatre uns dans les quatre cases suivantes, et nous répétons ce processus. Quant à la colonne D, qui est la dernière, nous doublons de 4 à 8, et donc nous plaçons 8 zéros dans les premières cases, puis 8 uns dans les cases suivantes.
Exprimer une fonction logique à partir d'une table de vérité
| Entrées | Sortie | |
| A | B | F |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Prenons le tableau ci-dessus comme exemple initial pour comprendre la méthode. Pour extraire l'équation algébrique à partir du tableau de vérité, nous posons toujours la question : quand la sortie est-elle égale à 1 ? Pour répondre à cette question, nous recherchons et identifions les lignes du tableau de vérité où la sortie est égale à 1.
| Entrées | Sortie | |
|---|---|---|
| A | B | F |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Pour répondre à la question de savoir quand la sortie est égale à 1, nous examinons les valeurs booléennes que prennent les entrées dans la ligne où la sortie vaut 1. Dans notre exemple, nous avons F=1 lorsque A=0 ET B=1. Nous exprimons les états des entrées algébriquement par l'expression suivante : lorsque A=1, nous écrivons A, et lorsque A=0, nous écrivons Ā (A barre). La même règle s'applique à toutes les entrées.
F = A · B
Dans le deuxième exemple, dans le tableau ci-dessous, nous avons la sortie F égale à 1 dans plusieurs lignes. Ainsi, nous posons la même question : quand F est-il égal à 1 ? Nous répondons en examinant les valeurs prises par les entrées. Dans le tableau, il y a trois lignes où la sortie est égale à 1, et par conséquent, nous répondons en fonction de ces valeurs.
| Entrées | Sortie | |
| A | B | F |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Nous disons donc que F=1 si A=1 ET B=1 OU A=0 ET B=0 OU A=0 ET B=0.
L'expression ET représente la porte logique AND, remplacée par le symbole (.). L'expression OU représente la porte logique OR, remplacée par le symbole algébrique (+). Ainsi, nous obtenons l'expression algébrique logique finale sous la forme suivante :
F = A.B + A.B + A.B
Nous passons maintenant au tableau de vérité avec trois entrées et prenons l'exemple suivant :
| Entrées | Sortie | ||
| A | B | C | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Dans le tableau de vérité ci-dessus, la sortie F prend la valeur booléenne 1 dans trois lignes. Nous commençons par la première ligne où F=1 et nous examinons les valeurs des entrées. Comme nous l'avons mentionné, si une entrée a la valeur 1, nous écrivons le nom de l'entrée tel quel, et si elle a la valeur 0, nous l'écrivons avec une barre. Par exemple, pour l'entrée C, si elle vaut 1, nous écrivons C, et si C vaut 0, nous écrivons C̄ (C barre). La même règle s'applique aux autres entrées A et B.
| Entrées | Sortie | ||
| A | B | C | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Dans le tableau de vérité, nous avons F=1 lorsque A=0, B=1 et C=1. Ainsi, nous écrivons Ā.B.C
Ensuite, dans la ligne suivante, nous avons F=1 lorsque A=1, B=0 et C=0. Ainsi, nous écrivons A.B.C.
Ensuite, dans la dernière ligne, nous avons F=1 lorsque A=1, B=1 et C=1. Par conséquent, nous écrivons A.B.C.
Ainsi, l'équation F qui représente la fonction logique dans ce tableau est :
F = A.B.C+A.B.C + A.B.C
Dans certains grands tableaux de vérité, la sortie F prend la valeur 1 dans de nombreuses lignes du tableau. Par conséquent, l'équation algébrique logique devient longue et nécessite un temps considérable pour être simplifiée.
Dans de tels cas, nous utilisons une autre méthode simplifiée qui nous permet d'obtenir rapidement une équation algébrique plus courte. Cette méthode consiste à extraire l'équation de F̅ (F barre) en identifiant les lignes où F=0, puis à inverser cette équation en utilisant les lois de De Morgan pour obtenir F.
| Entrées | Sortie | |||
| A | B | C | D | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Dans le tableau ci-dessus, nous avons un tableau de vérité avec quatre variables, et nous constatons que la sortie F est égale à 1 dans la plupart des lignes. Si nous appliquions la première méthode, l'équation algébrique serait très longue. Par conséquent, nous nous baserons sur les lignes où F=0, et nous remarquons qu'il n'y a que deux lignes. Ainsi, nous allons extraire l'équation de F̅ en posant la question : quand F est-il égal à 0 ?
Nous répondons donc que F=0 lorsque A=0, B=1, C=0 et D=1 OU A=0, B=1, C=1 et D=0.
F = A.B.C.D + A.B.C.D
Après avoir extrait l'équation de F̅, nous appliquons les lois de De Morgan pour obtenir F.
Nous pouvons extraire directement l'équation de F en utilisant les lignes où F=0, sans appliquer les lois de De Morgan. Cette expression algébrique est appelée la forme canonique "produit des sommes " (POS), qui est une expression d'une fonction logique où la sortie est le résultat d'une somme de produits.
| Entrées | Sortie | ||
| A | B | C | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Si nous voulons extraire l'expression de F à partir des lignes où F=0, nous posons la même question : quelles sont les valeurs des entrées pour que F soit égal à 0 ? Ainsi, F=0 si A=0 ou B=0 ou C=0. Dans ce cas, lors de l'écriture de l'expression algébrique, lorsque A=0, nous écrivons A, et lorsque A=1, nous écrivons Ā (A barre).
Ensuite, nous complétons la réponse en passant aux lignes suivantes où F=0, et nous disons que F=0 si A=1 ou B=1 ou C=0. Par conséquent, nous écrivons :
Également, dans la dernière ligne, nous avons F=0 si A=1 ou B=1 ou C=1. Par conséquent, nous écrivons : A̅+B̅+C̅
Et à la fin, nous combinons les parties avec l'opérateur logique AND pour obtenir le résultat final :
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